Convergência do Algoritmo da Bisecção

1. 3 Sequências: [; a_k < x_k < b_k ;]:
   1. [; a_{k+1} \geq a_k \wedge a_k \leq b_0 \quad \Leftrightarrow \quad a_k \rightarrow \alpha, \quad k \rightarrow +\infty;]
   2. [; b_{k+1} \leq b_k \wedge b_k \geq a_0 \quad \Leftrightarrow \quad b_k \rightarrow \beta, \quad k \rightarrow +\infty;]
2. [; b_k-a_k = \frac{b_0-a_0}{2^k} \rightarrow 0, \quad k \rightarrow +\infty ;]
3. Teorema do Confronto: [; \lim_{k \rightarrow +\infty} a_k = \lim_{k \rightarrow +\infty} x_k = \lim_{k \rightarrow +\infty} b_k = \xi ;]
4. Em cada paso: [; f(a_k) f(b_k) < 0 \quad \Leftrightarrow \quad \lim_{k \rightarrow +\infty} f(a_k) f(b_k)\leq 0;]
5. [;a_k,b_k;] convergentes:
   1. [; \lim_{k \rightarrow +\infty} f(a_k) f(b_k)= \lim_{k \rightarrow +\infty} f(a_k) \cdot \lim_{k \rightarrow +\infty} f(b_k) ;]
   2. [;f;] contínua:
      [; \lim_{k \rightarrow +\infty} f(a_k)= f(\lim_{k \rightarrow +\infty} a_k) = f(\xi), \qquad \lim_{k \rightarrow +\infty} f(b_k)= f(\lim_{k \rightarrow +\infty} b_k) = f(\xi) ;]
6. Então: [; 0 \geq \lim_{k \rightarrow +\infty} f(a_k) f(b_k) = f(\xi)^2 \geq 0 ;]
7. Novamente, pela Teorema do Confronto: [; f(\xi)=0 ;] ▫