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Interpolação de Lagrange

Lagrange introduziu uma outra abordagem. Considere as Funções de Lagrange, \(i=0,\ldots,n:\) \(H_i(x)=\frac{(x-x_0) \cdot \ldots \cdot(x-x_{i-1}) \cdot (x-x_{i+1}) \cdot\ldots \cdot (x-x_n)}{(x_i-x_0) \cdot \ldots \cdot(x_i-x_{i-1}) \cdot (x_i-x_{i+1}) \cdot\ldots \cdot (x_i-x_n)}\) Observe que funçõesas, \(H_i(x),\) são polinômios de grau \(n,\) e: \(H_i(x_j)=\delta_{ij}=\left\{\begin{array}{ccc}1,&i=j\\0,& i \neq j\\\end{array}\right.\) O Polinômio de Interplação de Lagrange : \(P_n(x)=y_0 H_0(x)+y_1 H_1(x)+ \ldots+y_n H_n(x),\) satisfaz as equações: \(P_n(x_i)=y_i,\quad i=0,\ldots,n\)

Valor Numérico;
Polynomial.

Para o uso no seguinte, escrevemos o Polinêmio Interpolador para \(n=1\) ou seja 2 pontos, \((x_0,y_0) \) e \((x_1,y_1):\) \(H_0(x)=\frac{x-x_1}{x_0-x_1}\qquad H_1(x)=\frac{x-x_0}{x_1-x_0} \) Polinômio Interpolador linear: \(P_1(x)=-y_0 \frac{x-x_1}{x_1-x_0}+y_1 \frac{x-x_0}{x_1-x_0}= \frac{1}{x_1-x_0}\left\{(y_1-y_0) x+x_1y_0-x_0y_1\right\}\)

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